確率変数 $X$ が正規分布 $N(20, 25)$ に従うとき、以下の確率を標準正規分布表を用いて求めます。 (1) $P(22 \le X \le 27)$ (2) $P(16 \le X \le 23)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(20, 25)$ に従うとき、以下の確率を標準正規分布表を用いて求めます。

(1) $P(22 \le X \le 27)$

(2) $P(16 \le X \le 23)$

2. 解き方の手順

正規分布 $N(20, 25)$ に従う確率変数 $X$ を標準化します。標準化された変数 $Z$ は、平均が0、分散が1の標準正規分布に従います。

標準化の式は次の通りです。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

ここで、$\mu$ は平均、$\sigma$ は標準偏差です。この問題では、$\mu = 20$ であり、$\sigma^2 = 25$ なので、$\sigma = \sqrt{25} = 5$ となります。

(1) $P(22 \le X \le 27)$ の計算

$X = 22$ のとき、$Z = \frac{22 - 20}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$

$X = 27$ のとき、$Z = \frac{27 - 20}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$

したがって、$P(22 \le X \le 27) = P(0.4 \le Z \le 1.4)$

標準正規分布表を用いて、$P(Z \le 1.4) = 0.9192$ 、$P(Z \le 0.4) = 0.6554$

$P(0.4 \le Z \le 1.4) = P(Z \le 1.4) - P(Z \le 0.4) = 0.9192 - 0.6554 = 0.2638$

(2) $P(16 \le X \le 23)$ の計算

$X = 16$ のとき、$Z = \frac{16 - 20}{5} = \frac{-4}{5} = -0.8$

$X = 23$ のとき、$Z = \frac{23 - 20}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$

したがって、$P(16 \le X \le 23) = P(-0.8 \le Z \le 0.6)$

標準正規分布表を用いて、$P(Z \le 0.6) = 0.7257$ 、$P(Z \le -0.8) = 1 - P(Z \le 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119$

$P(-0.8 \le Z \le 0.6) = P(Z \le 0.6) - P(Z \le -0.8) = 0.7257 - 0.2119 = 0.5138$

3. 最終的な答え

(1) $P(22 \le X \le 27) = 0.2638$

(2) $P(16 \le X \le 23) = 0.5138$