(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$を簡単にせよ。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$ の解を求めよ。 (5) 方程式 $|2-5x| = 1$の解を求めよ。

1. 問題の内容

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$を簡単にせよ。

(4) 連立不等式

$\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$

の解を求めよ。

(5) 方程式 $|2-5x| = 1$の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$

$= (\sqrt{6}+\sqrt{2})(3-2\sqrt{3}+1) + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(3+2\sqrt{3}+1)$

$= (\sqrt{6}+\sqrt{2})(4-2\sqrt{3}) + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(4+2\sqrt{3})$

$= 4\sqrt{6} - 2\sqrt{18} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2\sqrt{18} - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

$= 4\sqrt{6} - 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

$= (4-2+4-2)\sqrt{6} + (-6+4+6-4)\sqrt{2}$

$= 4\sqrt{6}$

(4) $\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$

一つ目の不等式: $\frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2$

両辺に6を掛けて $2x + 6 \le x + 12$

$x \le 6$

二つ目の不等式: $\frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1$

両辺に6を掛けて $2(x-1) - 3(x+1) < 6$

$2x-2 - 3x - 3 < 6$

$-x - 5 < 6$

$-x < 11$

$x > -11$

よって$-11 < x \le 6$

(5) $|2-5x| = 1$

$2-5x = 1$ または $2-5x = -1$

$2-5x=1$のとき $-5x = -1$より $x = \frac{1}{5}$

$2-5x=-1$のとき $-5x = -3$より $x = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(3) $4\sqrt{6}$

(4) $-11 < x \le 6$

(5) $x = \frac{1}{5}, \frac{3}{5}$