関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $(g \circ f)(x)$ を求める。

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)$$

$g(x)$ の $x$ に $\frac{2x+1}{x-1}$ を代入する。

$$g\left(\frac{2x+1}{x-1}\right) = \frac{\frac{2x+1}{x-1}+1}{\frac{2x+1}{x-1}-2}$$

分母分子に $x-1$ を掛ける。

$$\frac{(2x+1)+(x-1)}{(2x+1)-2(x-1)} = \frac{3x}{2x+1-2x+2} = \frac{3x}{3} = x$$

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{x+1}{x-2}\right)$$

$f(x)$ の $x$ に $\frac{x+1}{x-2}$ を代入する。

$$f\left(\frac{x+1}{x-2}\right) = \frac{2\left(\frac{x+1}{x-2}\right)+1}{\frac{x+1}{x-2}-1}$$

分母分子に $x-2$ を掛ける。

$$\frac{2(x+1)+(x-2)}{(x+1)-(x-2)} = \frac{2x+2+x-2}{x+1-x+2} = \frac{3x}{3} = x$$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = x$

$(f \circ g)(x) = x$