$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$, $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}$, $\tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$, $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}$, $\tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ の両辺を2乗します。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{\sqrt{5}})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{5}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であることを利用すると、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{5}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5}$

次に、$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}$ を求めます。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であるから、

$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5}$ を代入すると、

$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{-\frac{2}{5}} = -\frac{5}{2}$

最後に、$\tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta}$ を求めます。

$a = \tan\theta$ とおくと、$a + \frac{1}{a} = -\frac{5}{2}$ です。

$a^3 + \frac{1}{a^3}$ を求めるために、$(a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a^2\frac{1}{a} + 3a\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3(a+\frac{1}{a})$ を利用します。

$a^3 + \frac{1}{a^3} = (a + \frac{1}{a})^3 - 3(a + \frac{1}{a})$

$\tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta} = (\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta})^3 - 3(\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}) = (-\frac{5}{2})^3 - 3(-\frac{5}{2}) = -\frac{125}{8} + \frac{15}{2} = -\frac{125}{8} + \frac{60}{8} = -\frac{65}{8}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5}$

$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = -\frac{5}{2}$

$\tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta} = -\frac{65}{8}$