$a$を実数の定数とする。$x$の2次関数$y = x^2 - 2ax + a + 1$（$-1 \leq x \leq 1$）について、以下の問いに答える。 (1) この2次関数の最小値$m$を、$a$を用いて表せ。また、$m$の最大値を求めよ。 (2) この2次関数の最大値$M$を、$a$を用いて表せ。

1. 問題の内容

$a$を実数の定数とする。$x$の2次関数$y = x^2 - 2ax + a + 1$（$-1 \leq x \leq 1$）について、以下の問いに答える。

(1) この2次関数の最小値$m$を、$a$を用いて表せ。また、$m$の最大値を求めよ。

(2) この2次関数の最大値$M$を、$a$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 最小値$m$について

まず、$y = x^2 - 2ax + a + 1$を平方完成する。

$y = (x - a)^2 - a^2 + a + 1$

軸は$x = a$である。定義域は$-1 \leq x \leq 1$なので、軸の位置によって場合分けをする。

(i) $a < -1$のとき

定義域$-1 \leq x \leq 1$において、$x = -1$のとき最小値をとる。

$m = (-1)^2 - 2a(-1) + a + 1 = 1 + 2a + a + 1 = 3a + 2$

(ii) $-1 \leq a \leq 1$のとき

定義域$-1 \leq x \leq 1$の中に軸$x=a$が含まれるので、$x = a$のとき最小値をとる。

$m = -a^2 + a + 1$

(iii) $a > 1$のとき

定義域$-1 \leq x \leq 1$において、$x = 1$のとき最小値をとる。

$m = 1^2 - 2a(1) + a + 1 = 1 - 2a + a + 1 = -a + 2$

よって、最小値$m$は、

$m = \begin{cases} 3a+2 & (a < -1) \\ -a^2+a+1 & (-1 \leq a \leq 1) \\ -a+2 & (a > 1) \end{cases}$

次に、$m$の最大値を求める。

$a < -1$のとき、$m = 3a+2$は減少関数である。

$-1 \leq a \leq 1$のとき、$m = -a^2+a+1 = -(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$である。

$a > 1$のとき、$m = -a+2$は減少関数である。

したがって、$m$は$a = \frac{1}{2}$で最大値$\frac{5}{4}$をとる。

(2) 最大値$M$について

(i) $a < 0$のとき

$x = 1$で最大値をとる。

$M = 1^2 - 2a(1) + a + 1 = 2 - a$

(ii) $a > 0$のとき

$x = -1$で最大値をとる。

$M = (-1)^2 - 2a(-1) + a + 1 = 2 + 3a$

(iii) $a = 0$のとき

$y = x^2 + 1$なので、

$x = -1$または$x = 1$で最大値をとる。

$M = 2$

したがって、

$M = \begin{cases} 2 - a & (a \leq 0) \\ 2 + 3a & (a > 0) \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) $m = \begin{cases} 3a+2 & (a < -1) \\ -a^2+a+1 & (-1 \leq a \leq 1) \\ -a+2 & (a > 1) \end{cases}$

　 $m$の最大値: $\frac{5}{4}$

(2) $M = \begin{cases} 2 - a & (a \leq 0) \\ 2 + 3a & (a > 0) \end{cases}$