与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + 2x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + 2x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理する。

$x^2 + (4y + 2)x + (3y^2 + 4y + 1)$

次に、定数項 $3y^2 + 4y + 1$ を因数分解する。

$3y^2 + 4y + 1 = (3y + 1)(y + 1)$

ここで、全体の式が $(x + A)(x + B)$ の形に因数分解できると仮定する。このとき、$A + B = 4y + 2$ かつ $AB = 3y^2 + 4y + 1 = (3y + 1)(y + 1)$ となる $A$ と $B$ を見つければ良い。

$A = 3y + 1$ および $B = y + 1$ とすると、

$A + B = (3y + 1) + (y + 1) = 4y + 2$

$AB = (3y + 1)(y + 1) = 3y^2 + 4y + 1$

したがって、$x^2 + (4y + 2)x + (3y^2 + 4y + 1) = (x + 3y + 1)(x + y + 1)$ と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(x + 3y + 1)(x + y + 1)$