対数方程式 $\log_3{x} - \log_9{(x+2)} = 0$ を満たす $x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

対数方程式 $\log_3{x} - \log_9{(x+2)} = 0$ を満たす $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を用いて、2つの対数の底を同じにします。底を3に揃えることを考えます。

$\log_9{(x+2)} = \frac{\log_3{(x+2)}}{\log_3{9}}$

$\log_3{9} = \log_3{3^2} = 2$ なので、

$\log_9{(x+2)} = \frac{\log_3{(x+2)}}{2}$

元の式に代入すると、

$\log_3{x} - \frac{\log_3{(x+2)}}{2} = 0$

両辺に2をかけると、

$2\log_3{x} - \log_3{(x+2)} = 0$

$\log_3{x^2} - \log_3{(x+2)} = 0$

$\log_3{\frac{x^2}{x+2}} = 0$

真数部分を比較すると、

$\frac{x^2}{x+2} = 3^0 = 1$

$x^2 = x + 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2$ または $x = -1$

対数の真数条件より、$x>0$ かつ $x+2 > 0$ が必要です。つまり、$x > 0$ である必要があります。

$x = -1$ は条件を満たさないため不適です。

$x = 2$ は $x > 0$ および $x + 2 > 0$ を満たします。

3. 最終的な答え

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