$2\sqrt{5} + 2$, $\sqrt{11} + \sqrt{13}$, $\sqrt{17} + \sqrt{7}$ の3つの数を大きい順に並べなさい。

1. 問題の内容

$2\sqrt{5} + 2$, $\sqrt{11} + \sqrt{13}$, $\sqrt{17} + \sqrt{7}$ の3つの数を大きい順に並べなさい。

2. 解き方の手順

それぞれの数を2乗して比較します。

- $(2\sqrt{5} + 2)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 4 \cdot 5 + 8\sqrt{5} + 4 = 20 + 8\sqrt{5} + 4 = 24 + 8\sqrt{5}$

- $(\sqrt{11} + \sqrt{13})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{13} + (\sqrt{13})^2 = 11 + 2\sqrt{11 \cdot 13} + 13 = 24 + 2\sqrt{143}$

- $(\sqrt{17} + \sqrt{7})^2 = (\sqrt{17})^2 + 2 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 17 + 2\sqrt{17 \cdot 7} + 7 = 24 + 2\sqrt{119}$

それぞれの数の2乗を比較します。

$24 + 8\sqrt{5}$, $24 + 2\sqrt{143}$, $24 + 2\sqrt{119}$

24は共通なので、$8\sqrt{5}$, $2\sqrt{143}$, $2\sqrt{119}$ の大小を比較します。

$8\sqrt{5} = \sqrt{64 \cdot 5} = \sqrt{320}$

$2\sqrt{143} = \sqrt{4 \cdot 143} = \sqrt{572}$

$2\sqrt{119} = \sqrt{4 \cdot 119} = \sqrt{476}$

$\sqrt{320} < \sqrt{476} < \sqrt{572}$ なので、

$8\sqrt{5} < 2\sqrt{119} < 2\sqrt{143}$

よって、

$24 + 8\sqrt{5} < 24 + 2\sqrt{119} < 24 + 2\sqrt{143}$

したがって、

$(2\sqrt{5} + 2)^2 < (\sqrt{17} + \sqrt{7})^2 < (\sqrt{11} + \sqrt{13})^2$

それぞれの数は正なので、

$2\sqrt{5} + 2 < \sqrt{17} + \sqrt{7} < \sqrt{11} + \sqrt{13}$

大きい順に並べると、

$\sqrt{11} + \sqrt{13}$, $\sqrt{17} + \sqrt{7}$, $2\sqrt{5} + 2$

3. 最終的な答え

$\sqrt{11} + \sqrt{13}$, $\sqrt{17} + \sqrt{7}$, $2\sqrt{5} + 2$