直角三角形ABC（AB=8cm, BC=6cm, CA=10cm, ∠ABC=90°）と長方形BDEC（BD=4cm）を組み合わせた図形を、直線l（辺ABを含む）を軸として1回転させたときにできる立体の体積と表面積を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABC（AB=8cm, BC=6cm, CA=10cm, ∠ABC=90°）と長方形BDEC（BD=4cm）を組み合わせた図形を、直線l（辺ABを含む）を軸として1回転させたときにできる立体の体積と表面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 体積の計算

回転体は、底面の半径がBC=6cmで高さがAB=8cmの円錐と、底面の半径がCE=6cmで高さがBD=4cmの円柱を組み合わせた形になる。

* 円錐の体積 $V_{円錐} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 6^2 \times 8 = 96\pi$

* 円柱の体積 $V_{円柱} = \pi r^2 h = \pi \times 6^2 \times 4 = 144\pi$

* 立体の体積 $V = V_{円錐} + V_{円柱} = 96\pi + 144\pi = 240\pi$

(2) 表面積の計算

回転体の表面積は、円錐の側面、円柱の側面、円柱の底面（円）を合わせたものになる。

* 円錐の側面積 $S_{円錐} = \pi r l = \pi \times 6 \times 10 = 60\pi$ （lは母線の長さCA=10cm）

* 円柱の側面積 $S_{円柱側面} = 2 \pi r h = 2 \pi \times 6 \times 4 = 48\pi$

* 円柱の底面積 $S_{円柱底面} = \pi r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi$

* 立体の表面積 $S = S_{円錐} + S_{円柱側面} + S_{円柱底面} = 60\pi + 48\pi + 36\pi = 144\pi$

3. 最終的な答え

体積: $240\pi \text{ cm}^3$

表面積: $144\pi \text{ cm}^2$