この問題は、2点を通る直線のベクトル方程式を求める問題が2問と、与えられた直線の方程式をベクトルを使って書き直す問題が4問あります。

1. 問題の内容

この問題は、2点を通る直線のベクトル方程式を求める問題が2問と、与えられた直線の方程式をベクトルを使って書き直す問題が4問あります。

2. 解き方の手順

**最初の問題: 2点を通る直線のベクトル方程式**

2点 $A(\vec{a})$、$B(\vec{b})$ を通る直線のベクトル方程式は、位置ベクトル $\vec{p}$ を用いて、

$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

と表されます。ここで、$t$ は実数です。

または、

$\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$

と表すこともできます。

1. (1,3), (5,6)の場合

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 6-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

よって、ベクトル方程式は

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

2. (-2,-6), (3,6)の場合

$\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3-(-2) \\ 6-(-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$

よって、ベクトル方程式は

$\vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$

**次の問題: 直線の方程式をベクトルで書き直す**

直線 $y = mx + c$ は、点 $(0, c)$ を通り、方向ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ を持つ直線です。したがって、ベクトル方程式は、

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$

と表せます。

1. $y = 2x + 1$の場合

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. $y = -3x + 4$の場合

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

3. $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}$の場合

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

または、スカラー倍して

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + t'\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

4. $y = \frac{1}{5}x - 2$の場合

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

または、スカラー倍して

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t'\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

1. (1,3), (5,6)のベクトル方程式：$\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

2. (-2,-6), (3,6)のベクトル方程式：$\vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$

3. $y = 2x + 1$のベクトル方程式：$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

4. $y = -3x + 4$のベクトル方程式：$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

5. $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}$のベクトル方程式：$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$ (または$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + t'\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$)

6. $y = \frac{1}{5}x - 2$のベクトル方程式：$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix}$ (または$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t'\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$)