$\alpha$ が鈍角で、$tan \alpha = -\frac{1}{2}$ のとき、$cos \alpha$ と $sin \alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ が鈍角で、$tan \alpha = -\frac{1}{2}$ のとき、$cos \alpha$ と $sin \alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$1 + tan^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$ という公式を利用します。

$tan \alpha = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$1 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{cos^2 \alpha}$

$1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{cos^2 \alpha}$

$\frac{5}{4} = \frac{1}{cos^2 \alpha}$

$cos^2 \alpha = \frac{4}{5}$

したがって、$cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$ となります。

$\alpha$ は鈍角なので、 $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ です。

この範囲では、$cos \alpha < 0$ となるので、$cos \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ です。

次に、$sin \alpha$ の値を求めます。

$tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$ という関係式を利用します。

$sin \alpha = tan \alpha \cdot cos \alpha$

$sin \alpha = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{2\sqrt{5}}{5})$

$sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\alpha$ は鈍角なので、$sin \alpha > 0$ であり、計算結果と矛盾しません。

3. 最終的な答え

$cos \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$