与えられた2点を通る直線のベクトル方程式を求める問題です。問題は2つあります。 1. (1, 3), (5, 6) を通る直線

1. 問題の内容

与えられた2点を通る直線のベクトル方程式を求める問題です。問題は2つあります。

1. (1, 3), (5, 6) を通る直線

2. (-2, -6), (3, 6) を通る直線

2. 解き方の手順

直線上の任意の点を $\mathbf{p}$ とします。与えられた2点を $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ とします。このとき、直線上の点は、実数 $t$ を用いて、

$\mathbf{p} = (1 - t) \mathbf{a} + t \mathbf{b}$

と表すことができます。これはベクトル方程式の一つの形です。

別の表現方法としては、方向ベクトル $\mathbf{v} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ を用いて、

$\mathbf{p} = \mathbf{a} + t \mathbf{v}$

と表すこともできます。

1. (1, 3), (5, 6) を通る直線

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$、$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$とします。

$\mathbf{v} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

よって、直線上の任意の点 $\mathbf{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

または、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (1 - t) \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$

と表すことができます。

2. (-2, -6), (3, 6) を通る直線

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix}$、$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$とします。

$\mathbf{v} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$

よって、直線上の任意の点 $\mathbf{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$

または、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (1 - t) \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

と表すことができます。

3. 最終的な答え

1. (1, 3), (5, 6) を通る直線: $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

2. (-2, -6), (3, 6) を通る直線: $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$