* 問題8.1：与えられた式 $\frac{\sqrt[4]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}} \times \sqrt[3]{a^3b^2}$ を $a^pb^q$ の形で表しなさい。 * 問題8.3：与えられた式 $\log_3 \frac{9}{2} + \log_9 12$ を計算しなさい。

はい、承知いたしました。画像に示された問題のうち、問題8.1と8.3を解きます。

1. 問題の内容

* 問題8.1：与えられた式 $\frac{\sqrt[4]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}} \times \sqrt[3]{a^3b^2}$ を $a^pb^q$ の形で表しなさい。

* 問題8.3：与えられた式 $\log_3 \frac{9}{2} + \log_9 12$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

* 問題8.1

まず、与えられた式を指数を用いて書き換えます。

$\frac{\sqrt[4]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}} \times \sqrt[3]{a^3b^2} = \frac{(a^2b)^{\frac{1}{4}}}{(ab)^{\frac{1}{3}}} \times (a^3b^2)^{\frac{1}{3}}$

次に、指数法則を用いて式を整理します。

$\frac{a^{\frac{2}{4}}b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}} \times a^{\frac{3}{3}}b^{\frac{2}{3}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}} \times a^1b^{\frac{2}{3}}$

さらに、同じ底を持つ指数をまとめます。

$a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 1}b^{\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + \frac{6}{6}}b^{\frac{3}{12} - \frac{4}{12} + \frac{8}{12}} = a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{7}{12}}$

* 問題8.3

まず、$\log_9 12$ の底を3に変換します。底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、

$\log_9 12 = \frac{\log_3 12}{\log_3 9} = \frac{\log_3 12}{2}$

したがって、

$\log_3 \frac{9}{2} + \log_9 12 = \log_3 \frac{9}{2} + \frac{1}{2}\log_3 12$

$\log_3 \frac{9}{2} + \frac{1}{2}\log_3 12 = \log_3 9 - \log_3 2 + \frac{1}{2} (\log_3 4 + \log_3 3)$

$= 2 - \log_3 2 + \frac{1}{2} (2\log_3 2 + 1)$

$= 2 - \log_3 2 + \log_3 2 + \frac{1}{2}$

$= 2 + \frac{1}{2}$

$= \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

* 問題8.1：$a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{7}{12}}$

* 問題8.3：$\frac{5}{2}$