線形変換 $T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^4$ が行列 $ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} $ で与えられているとき、以下を求める。 (a) null($T$) (退化次数) と Ker($T$) (核) の1組の基 (b) rank($T$) (階数) と Im($T$) (像) の1組の基

1. 問題の内容

線形変換 $T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^4$ が行列

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\

1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\

-2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\

1 & -1 & 2 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

で与えられているとき、以下を求める。

(a) null($T$) (退化次数) と Ker($T$) (核) の1組の基

(b) rank($T$) (階数) と Im($T$) (像) の1組の基

2. 解き方の手順

(a) Ker($T$) の基を求める。まず、行列 $A$ を簡約化する。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\

1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\

-2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\

1 & -1 & 2 & 1 & 1

\end{bmatrix}

\xrightarrow{R_2 \to R_2 - R_1, R_3 \to R_3 + 2R_1, R_4 \to R_4 - R_1}

\begin{bmatrix}

1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 1 & 1 & 1

\end{bmatrix}

\xrightarrow{R_3 \to R_3 - 2R_2, R_2 \leftrightarrow R_4}

\begin{bmatrix}

1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

\xrightarrow{R_1 \to R_1 + 2R_2}

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 3 & 2 & 2 \\

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

この行列に対応する方程式は

$$

\begin{cases}

x_1 + 3x_3 + 2x_4 + 2x_5 = 0 \\

x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0

\end{cases}

$$

である。よって

$$

\begin{cases}

x_1 = -3x_3 - 2x_4 - 2x_5 \\

x_2 = -x_3 - x_4 - x_5

\end{cases}

$$

したがって、

$$

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5

\end{bmatrix}

= x_3 \begin{bmatrix}

-3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0

\end{bmatrix}

+ x_4 \begin{bmatrix}

-2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0

\end{bmatrix}

+ x_5 \begin{bmatrix}

-2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1

\end{bmatrix}

$$

である。したがって、Ker($T$) の基は

$$

\left\{ \begin{bmatrix}

-3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0

\end{bmatrix},

\begin{bmatrix}

-2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0

\end{bmatrix},

\begin{bmatrix}

-2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1

\end{bmatrix} \right\}

$$

であり、null($T$) = 3 である。

(b) rank($T$) を求める。rank($T$) = 次元数 - null($T$) = 5 - 3 = 2 である。

Im($T$) の基は、簡約化された行列において、ピボットを持つ列に対応する元の行列 $A$ の列ベクトルによって与えられる。

ピボットは1列目と2列目にあるので、Im($T$) の基は

$$

\left\{ \begin{bmatrix}

1 \\ 1 \\ -2 \\ 1

\end{bmatrix},

\begin{bmatrix}

-2 \\ -2 \\ 4 \\ -1

\end{bmatrix} \right\}

$$

である。ただし、2つ目のベクトルを$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$に変更することも可能。

3. 最終的な答え

(a) null($T$) = 3, Ker($T$) の基: $\left\{ \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

(b) rank($T$) = 2, Im($T$) の基: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$