与えられた3つの行列に対して、固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求める。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
2025/7/26
1. 問題の内容
与えられた3つの行列に対して、固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求める。
(1)
(2)
(3)
2. 解き方の手順
(1) 行列 の固有値を求める。
特性方程式 を解く。
固有値は である。
固有値 に対する固有ベクトルを求める。
を解く。
かつ 。 これより 。 は任意。
固有ベクトルは (cは0でない任意の実数)。
固有値 に対する固有ベクトルを求める。
を解く。
かつ かつ 。 これより かつ 。
固有ベクトルは (cは0でない任意の実数)。
固有値 に対する固有ベクトルを求める。
を解く。
かつ かつ 。 これより かつ 。
固有ベクトルは (cは0でない任意の実数)。
(2) 行列 の固有値を求める。
特性方程式 を解く。
固有値は である。実数値の固有値は 。
固有値 に対する固有ベクトルを求める。
を解く。
かつ かつ 。 これより かつ 。
固有ベクトルは (cは0でない任意の実数)。
(3) 行列 の固有値を求める。
特性方程式 を解く。
固有値は である。
固有値 に対する固有ベクトルを求める。
を解く。
かつ かつ 。 これより かつ 。 は任意。
固有ベクトルは (cは0でない任意の実数)。
固有値 に対する固有ベクトルを求める。
を解く。
かつ かつ 。 これより かつ 、つまり 。
固有ベクトルは (cは0でない任意の実数)。
固有値 に対する固有ベクトルを求める。
を解く。
かつ かつ 。 これより かつ 、つまり 。
固有ベクトルは (cは0でない任意の実数)。
3. 最終的な答え
(1)
固有値:
に対する固有ベクトル:
に対する固有ベクトル:
に対する固有ベクトル:
(2)
固有値:
に対する固有ベクトル:
(3)
固有値:
に対する固有ベクトル:
に対する固有ベクトル:
に対する固有ベクトル: