与えられた3つの行列に対して、固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求める。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

代数学線形代数固有値固有ベクトル行列
2025/7/26

1. 問題の内容

与えられた3つの行列に対して、固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求める。
(1) (102010202)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}
(2) (010102020)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}
(3) (102111100)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

(1) 行列 A=(102010202)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} の固有値を求める。
特性方程式 AλI=0|A - \lambda I| = 0 を解く。
AλI=1λ0201λ0202λ=(1λ)1λ222λ=(1λ)((1λ)(2λ)4)=(1λ)(2λ+2λ+λ24)=(1λ)(λ2+λ6)=(1λ)(λ+3)(λ2)=0|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (-1-\lambda) \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (-1-\lambda)((1-\lambda)(-2-\lambda) - 4) = (-1-\lambda)(-2-\lambda+2\lambda+\lambda^2 - 4) = (-1-\lambda)(\lambda^2+\lambda-6) = (-1-\lambda)(\lambda+3)(\lambda-2) = 0
固有値は λ=1,3,2\lambda = -1, -3, 2 である。
固有値 λ=1\lambda = -1 に対する固有ベクトルを求める。
(A(1)I)v=0(A - (-1)I)v = 0 を解く。
(202000201)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
2x+2z=02x+2z=0 かつ 2xz=02x-z=0。 これより x=z=0x=z=0yy は任意。
固有ベクトルは c(010)c\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} (cは0でない任意の実数)。
固有値 λ=3\lambda = -3 に対する固有ベクトルを求める。
(A(3)I)v=0(A - (-3)I)v = 0 を解く。
(402020201)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
4x+2z=04x+2z=0 かつ 2y=02y=0 かつ 2x+z=02x+z=0。 これより z=2xz=-2x かつ y=0y=0
固有ベクトルは c(102)c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} (cは0でない任意の実数)。
固有値 λ=2\lambda = 2 に対する固有ベクトルを求める。
(A2I)v=0(A - 2I)v = 0 を解く。
(102030204)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
x+2z=0-x+2z=0 かつ 3y=0-3y=0 かつ 2x4z=02x-4z=0。 これより x=2zx=2z かつ y=0y=0
固有ベクトルは c(201)c\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} (cは0でない任意の実数)。
(2) 行列 B=(010102020)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} の固有値を求める。
特性方程式 BλI=0|B - \lambda I| = 0 を解く。
BλI=λ101λ202λ=λλ22λ1120λ=λ(λ2+4)(+λ)=λ34λλ=λ(λ2+5)=0|B - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ -1 & -\lambda & 2 \\ 0 & -2 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda \begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ -2 & -\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda(\lambda^2+4) - (+\lambda) = -\lambda^3 - 4\lambda - \lambda = -\lambda(\lambda^2+5) = 0
固有値は λ=0,±i5\lambda = 0, \pm i\sqrt{5} である。実数値の固有値は λ=0\lambda=0
固有値 λ=0\lambda = 0 に対する固有ベクトルを求める。
(B0I)v=0(B - 0I)v = 0 を解く。
(010102020)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
y=0y=0 かつ x+2z=0-x+2z=0 かつ 2y=0-2y=0。 これより y=0y=0 かつ x=2zx=2z
固有ベクトルは c(201)c\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} (cは0でない任意の実数)。
(3) 行列 C=(102111100)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} の固有値を求める。
特性方程式 CλI=0|C - \lambda I| = 0 を解く。
CλI=1λ0211λ110λ=(1λ)1λ21λ=(1λ)((1λ)(λ)2)=(1λ)(λ+λ22)=(1λ)(λ2λ2)=(1λ)(λ2)(λ+1)=0|C - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 1 & 1-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((1-\lambda)(-\lambda) - 2) = (1-\lambda)(-\lambda+\lambda^2-2) = (1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2) = (1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1) = 0
固有値は λ=1,2,1\lambda = 1, 2, -1 である。
固有値 λ=1\lambda = 1 に対する固有ベクトルを求める。
(CI)v=0(C - I)v = 0 を解く。
(002101101)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
2z=02z=0 かつ x+z=0x+z=0 かつ xz=0x-z=0。 これより z=0z=0 かつ x=0x=0yy は任意。
固有ベクトルは c(010)c\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} (cは0でない任意の実数)。
固有値 λ=2\lambda = 2 に対する固有ベクトルを求める。
(C2I)v=0(C - 2I)v = 0 を解く。
(102111102)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
x+2z=0-x+2z=0 かつ xy+z=0x-y+z=0 かつ x2z=0x-2z=0。 これより x=2zx=2z かつ 2zy+z=02z-y+z=0、つまり y=3zy=3z
固有ベクトルは c(231)c\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} (cは0でない任意の実数)。
固有値 λ=1\lambda = -1 に対する固有ベクトルを求める。
(C(1)I)v=0(C - (-1)I)v = 0 を解く。
(202121101)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
2x+2z=02x+2z=0 かつ x+2y+z=0x+2y+z=0 かつ x+z=0x+z=0。 これより z=xz=-x かつ x+2yx=0x+2y-x=0、つまり y=0y=0
固有ベクトルは c(101)c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} (cは0でない任意の実数)。

3. 最終的な答え

(1)
固有値: λ=1,3,2\lambda = -1, -3, 2
λ=1\lambda = -1 に対する固有ベクトル: c(010)c\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
λ=3\lambda = -3 に対する固有ベクトル: c(102)c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}
λ=2\lambda = 2 に対する固有ベクトル: c(201)c\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
(2)
固有値: λ=0,±i5\lambda = 0, \pm i\sqrt{5}
λ=0\lambda = 0 に対する固有ベクトル: c(201)c\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
(3)
固有値: λ=1,2,1\lambda = 1, 2, -1
λ=1\lambda = 1 に対する固有ベクトル: c(010)c\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
λ=2\lambda = 2 に対する固有ベクトル: c(231)c\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}
λ=1\lambda = -1 に対する固有ベクトル: c(101)c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

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