$\pi < \theta < 2\pi$ かつ $\sin \theta = -\frac{3}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。

## 問題10.1

1. 問題の内容

$\pi < \theta < 2\pi$ かつ $\sin \theta = -\frac{3}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\cos \theta$の値を求めます。

$\sin \theta = -\frac{3}{5}$を代入すると、

$(-\frac{3}{5})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25}$

$\cos^2 \theta = \frac{16}{25}$

$\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$

ここで、$\pi < \theta < 2\pi$なので、$\theta$は第3象限または第4象限の角です。第3象限では$\cos \theta < 0$、第4象限では$\cos \theta > 0$です。

また、$\sin \theta = -\frac{3}{5}$なので、$\theta$は第3象限または第4象限にあります。

$\sin \theta < 0$なので第3象限と第4象限に存在しえます。

したがって$\cos \theta$は第3象限で負であり、第4象限で正です。

今$\sin \theta <0$なので、$\theta$は第3象限か第4象限にあります。

この場合$\theta$は第3象限でも第4象限でも起こり得ます。

しかし$\sin \theta < 0$なので第3,4象限に$\theta$がありえます。

今回は$\sin \theta = -\frac{3}{5} < 0$と問題文に与えられているので、$\theta$は第3象限または第4象限の角になります。

このうち$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$のとき$\cos \theta <0$であり、$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$のとき$\cos \theta >0$です。

したがって $\cos \theta = \frac{4}{5}$です。

次に、$\tan \theta$ の値を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$の関係式を用います。

$\tan \theta = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = -\frac{3}{4}$

## 問題10.2

1. 問題の内容

関数 $y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$ のグラフを描く。

2. 解き方の手順

$y=\tan \theta$のグラフを$\theta$軸方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動させたグラフになる。

$\tan \theta$の漸近線は$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$は整数)であるから、

$y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$の漸近線は$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi$となる。

これを整理すると$\theta = \frac{3\pi}{4} + n\pi$ ($n$は整数)。

$y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$のグラフは、$y=\tan \theta$のグラフを$\theta$軸方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動させたものになる。

3. 最終的な答え

グラフは省略 (グラフはtan関数をθ軸方向にπ/4だけ平行移動したグラフになります。)

漸近線は $\theta = \frac{3\pi}{4} + n\pi$ ($n$は整数) となる。