次の図について、以下の問いに答えます。 (1) 点A, B, Cの座標を求めます。 (2) 三角形ABCの面積を求めます。 (3) 点Bを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めます。

1. 問題の内容

次の図について、以下の問いに答えます。

(1) 点A, B, Cの座標を求めます。

(2) 三角形ABCの面積を求めます。

(3) 点Bを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点A, B, Cの座標を求める。

* 点Aは、2つの直線の交点なので、$y = 2x + 12$ と $y = -x + 9$ を連立して解く。

$2x + 12 = -x + 9$

$3x = -3$

$x = -1$

$y = -(-1) + 9 = 10$

よって、点Aの座標は $(-1, 10)$

* 点Bは、直線 $y = -x + 9$ とx軸($y=0$)との交点なので、$y = -x + 9$ に $y = 0$ を代入する。

$0 = -x + 9$

$x = 9$

よって、点Bの座標は $(9, 0)$

* 点Cは、直線 $y = 2x + 12$ とx軸($y=0$)との交点なので、$y = 2x + 12$ に $y = 0$ を代入する。

$0 = 2x + 12$

$2x = -12$

$x = -6$

よって、点Cの座標は $(-6, 0)$

(2) 三角形ABCの面積を求める。

* 三角形ABCの底辺をBCとすると、BCの長さは $9 - (-6) = 15$

* 高さは点Aのy座標なので、10

* よって、三角形ABCの面積は $(1/2) \times 15 \times 10 = 75$

(3) 点Bを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める。

* 三角形ABCの面積を2等分する直線は、辺ACの中点を通る。

* ACの中点の座標をMとすると、Mの座標は $\left(\frac{-1 + (-6)}{2}, \frac{10 + 0}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}, 5\right)$

* 点B(9, 0)と点M(-7/2, 5)を通る直線の傾きは、$\frac{5 - 0}{-\frac{7}{2} - 9} = \frac{5}{-\frac{7}{2} - \frac{18}{2}} = \frac{5}{-\frac{25}{2}} = -\frac{2}{5}$

* 求める直線の式を $y = -\frac{2}{5}x + b$ とおき、点B(9, 0)を通ることから、

$0 = -\frac{2}{5} \times 9 + b$

$b = \frac{18}{5}$

* よって、求める直線の式は $y = -\frac{2}{5}x + \frac{18}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 点A: $(-1, 10)$、点B: $(9, 0)$、点C: $(-6, 0)$

(2) 75

(3) $y = -\frac{2}{5}x + \frac{18}{5}$