図において、$b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

図において、$b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle BCD$ において、余弦定理を用いて $a$ を求める。

$BC = 4$, $CD = 3$, $\angle BCD = 60^\circ$ なので、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$a^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos{60^\circ}$

$a^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 25 - 12 = 13$

よって、$a = \sqrt{13}$.

次に、$\triangle ABD$ において、正弦定理を用いて $b$ を求める。

$BD = a = \sqrt{13}$, $\angle DAB = 60^\circ$, $\angle ADB = 45^\circ$.

$\frac{BD}{\sin{\angle DAB}} = \frac{AB}{\sin{\angle ADB}}$

$\frac{\sqrt{13}}{\sin{60^\circ}} = \frac{b}{\sin{45^\circ}}$

$\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{2b}{\sqrt{2}}$

$b = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$

$b = \frac{\sqrt{78}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{78}}{3}$