図において、$b$ の値を求める問題です。図には四角形 $ABCD$ が描かれており、辺 $AD = \sqrt{7}$, $AB = 2\sqrt{7}$, 角 $DAB = 120^\circ$, 角 $BDC = 30^\circ$, 角 $BCD = 60^\circ$ が与えられています。また、$BC = b$ とします。

1. 問題の内容

図において、$b$ の値を求める問題です。図には四角形 $ABCD$ が描かれており、辺 $AD = \sqrt{7}$, $AB = 2\sqrt{7}$, 角 $DAB = 120^\circ$, 角 $BDC = 30^\circ$, 角 $BCD = 60^\circ$ が与えられています。また、$BC = b$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABD$ において余弦定理を用いると、$BD$ の長さ($a$)が求められます。

$a^2 = (2\sqrt{7})^2 + (\sqrt{7})^2 - 2(2\sqrt{7})(\sqrt{7}) \cos 120^\circ$

$a^2 = 28 + 7 - 2(14) (-\frac{1}{2})$

$a^2 = 35 + 14$

$a^2 = 49$

$a = 7$

したがって、$BD = 7$ であることがわかります。

次に、$\triangle BCD$ において正弦定理を用いると、$b$ の値が求められます。

$\frac{BD}{\sin{60^\circ}} = \frac{BC}{\sin{30^\circ}}$

$\frac{7}{\sin{60^\circ}} = \frac{b}{\sin{30^\circ}}$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$

$b = \frac{7 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$b = \frac{7}{\sqrt{3}}$

$b = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$b = \frac{7\sqrt{3}}{3}$