三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 135^\circ$, 辺BCの長さが $2\sqrt{2}$、三角形ADCにおいて、$\angle ADC = 45^\circ$, 辺DCの長さが $2$である。辺ABの長さ $b$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 135^\circ$, 辺BCの長さが $2\sqrt{2}$、三角形ADCにおいて、$\angle ADC = 45^\circ$, 辺DCの長さが $2$である。辺ABの長さ $b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCにおいて、$\angle B$の角度を求める。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 135^\circ = -15^\circ$

これは図が間違っているか、問題に誤りがあることを示唆している。しかし、ここでは、$\angle C$ は $\angle ACB$を表すものと仮定し、$\angle DCB$という別の角度を導入する。

問題文には、辺ACの長さaは与えられていない。

しかし、$\angle C$は$\angle ACB=135^\circ$であると読み取れる。この$\angle C$に隣接する$\angle ACD=x$とすると$\angle ACB+\angle ACD=180^\circ$ (直線)より$x=45^\circ$である。

$\triangle ADC$において、$\angle DAC = 180^\circ - \angle ADC - \angle ACD = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

よって$\triangle ADC$は直角二等辺三角形。

$AD = DC = 2$

$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\triangle ABC$において、正弦定理より

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$

$\frac{b}{\sin 135^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 60^\circ}$

$\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$b = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 2\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$