放物線 $y = x^2 - 2x + a^2 - 2a - 2$ について、以下の問いに答える問題です。 (A) 放物線 C の式を平方完成させる。 (B) 放物線 C の頂点の座標を求める。 (C) この頂点が x 軸上にあるとき、a についての 2 次方程式を立てる。 (D) a の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + a^2 - 2a - 2$ について、以下の問いに答える問題です。

(A) 放物線 C の式を平方完成させる。

(B) 放物線 C の頂点の座標を求める。

(C) この頂点が x 軸上にあるとき、a についての 2 次方程式を立てる。

(D) a の値を求める。

2. 解き方の手順

(A) 平方完成を行います。

$y = x^2 - 2x + a^2 - 2a - 2$

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 + a^2 - 2a - 2$

$y = (x - 1)^2 + a^2 - 2a - 3$

(B) 頂点の座標は $(1, a^2 - 2a - 3)$ となります。

(C) 頂点が x 軸上にあるとき、$y$ 座標は 0 なので、

$a^2 - 2a - 3 = 0$

(D) $a^2 - 2a - 3 = 0$ を解きます。

$(a - 3)(a + 1) = 0$

よって、$a = 3, -1$

3. 最終的な答え

(A) $y = (x - 1)^2 + a^2 - 2a - 3$

(B) $(1, a^2 - 2a - 3)$

(C) $(a+1)(a-3) = 0$

(D) $a = 3, -1$