展開公式を使って、以下の3つの式を計算します。 (1) $(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})$ (2) $(2\sqrt{2}-\sqrt{27})^2$ (3) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$ ただし、(3) では $\sqrt{2}+\sqrt{3}=A$ とおいて計算します。

1. 問題の内容

展開公式を使って、以下の3つの式を計算します。

(1) $(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})$

(2) $(2\sqrt{2}-\sqrt{27})^2$

(3) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$

ただし、(3) では $\sqrt{2}+\sqrt{3}=A$ とおいて計算します。

2. 解き方の手順

(1) について

和と差の積の公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を使います。

$a = \sqrt{11}$, $b = \sqrt{3}$ と考えると、

$(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11 - 3 = 8$

(2) について

平方の公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使います。

$a = 2\sqrt{2}$, $b = \sqrt{27}$ と考えると、

$(2\sqrt{2}-\sqrt{27})^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2})(\sqrt{27}) + (\sqrt{27})^2$

$= 4 \times 2 - 4\sqrt{54} + 27$

$= 8 - 4\sqrt{9 \times 6} + 27$

$= 8 - 4 \times 3\sqrt{6} + 27$

$= 35 - 12\sqrt{6}$

(3) について

$\sqrt{2}+\sqrt{3}=A$ とおくと、与えられた式は $(A+\sqrt{5})(A-\sqrt{5})$ となります。

これは和と差の積の公式の形なので、$A^2 - (\sqrt{5})^2$ となります。

$A^2 = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$

したがって、

$(A+\sqrt{5})(A-\sqrt{5}) = A^2 - (\sqrt{5})^2 = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) $35 - 12\sqrt{6}$

(3) $2\sqrt{6}$