関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

積の微分法則と合成関数の微分法則を利用する。

まず、積の微分法則より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(5^{x^3})$

$\frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$ である。

次に、$\frac{d}{dx}(5^{x^3})$ を求める。

$5^{x^3}$ は合成関数なので、まず、$u = x^3$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ である。

また、$\frac{d}{du}(5^u) = 5^u \ln 5$ である。

合成関数の微分法則より、

$\frac{d}{dx}(5^{x^3}) = \frac{d}{du}(5^u) \cdot \frac{du}{dx} = 5^u \ln 5 \cdot 3x^2 = 5^{x^3} \ln 5 \cdot 3x^2 = 3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1) \cdot 3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3}$

$= 2x \cdot 5^{x^3} + 3x^2(x^2 + 1) \ln 5 \cdot 5^{x^3}$

$= 5^{x^3}(2x + 3x^2(x^2 + 1)\ln 5)$

$= x 5^{x^3}(2 + 3x(x^2 + 1)\ln 5)$

$= x 5^{x^3}(2 + (3x^3 + 3x)\ln 5)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x 5^{x^3}(2 + (3x^3 + 3x)\ln 5)$