関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使用します。商の微分公式は、

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

です。

ここで、$u = e^x$、$v = \sin x$ とすると、

$u' = (e^x)' = e^x$

$v' = (\sin x)' = \cos x$

となります。

したがって、

$y' = \frac{(e^x)'\sin x - e^x(\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{\sin^2 x}$

となります。

これを整理すると、

$y' = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{e^x (\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$