3次不等式 $x^3 - x^2 - 4x + 4 > 0$ を解きます。

1. 問題の内容

3次不等式 $x^3 - x^2 - 4x + 4 > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、左辺の3次式を因数分解します。

$x^3 - x^2 - 4x + 4 = x^2(x-1) - 4(x-1) = (x^2 - 4)(x-1) = (x-2)(x+2)(x-1)$

したがって、不等式は

$(x-2)(x+2)(x-1) > 0$

となります。

次に、不等式を満たす$x$の範囲を求めます。3つの因子 $(x-2)$, $(x+2)$, $(x-1)$ の符号を調べます。

3つの因子が0となるのは、$x = -2, 1, 2$ のときです。

これらの値を数直線上に配置し、各区間での符号を調べます。

* $x < -2$ のとき、$(x-2)<0$, $(x+2)<0$, $(x-1)<0$ なので、$(x-2)(x+2)(x-1) < 0$

* $-2 < x < 1$ のとき、$(x-2)<0$, $(x+2)>0$, $(x-1)<0$ なので、$(x-2)(x+2)(x-1) > 0$

* $1 < x < 2$ のとき、$(x-2)<0$, $(x+2)>0$, $(x-1)>0$ なので、$(x-2)(x+2)(x-1) < 0$

* $x > 2$ のとき、$(x-2)>0$, $(x+2)>0$, $(x-1)>0$ なので、$(x-2)(x+2)(x-1) > 0$

したがって、$(x-2)(x+2)(x-1) > 0$ となるのは、$-2 < x < 1$ または $x > 2$ のときです。

3. 最終的な答え

$-2 < x < 1, x > 2$