$n$を自然数とするとき、関数$y = e^{-x}$の第$n$次導関数を求める。

1. 問題の内容

$n$を自然数とするとき、関数$y = e^{-x}$の第$n$次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{-x}$の導関数をいくつか計算して、規則性を見つける。

1階導関数:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}$

2階導関数:

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}$

3階導関数:

$\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$

4階導関数:

$\frac{d^4y}{dx^4} = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}$

このように、導関数を計算していくと、$e^{-x}$の係数が $-1$ と $1$ を交互にとることがわかる。

具体的には、$n$が奇数のとき、係数は$-1$であり、$n$が偶数のとき、係数は$1$である。

これは、$(-1)^n$で表現できる。

したがって、$y = e^{-x}$の第$n$次導関数は、

$\frac{d^n y}{dx^n} = (-1)^n e^{-x}$

3. 最終的な答え

$\frac{d^n y}{dx^n} = (-1)^n e^{-x}$