$y = \cos^2 x$ のとき、$y^{(3)}$、つまり $y$ の3階微分を求めよ。

1. 問題の内容

$y = \cos^2 x$ のとき、$y^{(3)}$、つまり $y$ の3階微分を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos^2 x$ を三角関数の倍角公式を使って変形します。

$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ より、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ なので、

$y = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$ となります。

次に、各階の導関数を計算します。

$y' = \frac{d}{dx} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x) = \frac{1}{2} (- \sin 2x) \cdot 2 = -\sin 2x$

$y'' = \frac{d}{dx} (-\sin 2x) = -(\cos 2x) \cdot 2 = -2 \cos 2x$

$y^{(3)} = \frac{d}{dx} (-2 \cos 2x) = -2 (-\sin 2x) \cdot 2 = 4 \sin 2x$

3. 最終的な答え

$y^{(3)} = 4 \sin 2x$