$n$ を自然数とするとき、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin x$ を繰り返し微分して規則性を見つける。

まず、最初のいくつかの導関数を計算する。

$y = \sin x$

$y' = \cos x = \sin (x + \frac{\pi}{2})$

$y'' = -\sin x = \sin (x + 2 \cdot \frac{\pi}{2})$

$y''' = -\cos x = \sin (x + 3 \cdot \frac{\pi}{2})$

$y'''' = \sin x = \sin (x + 4 \cdot \frac{\pi}{2})$

このパターンから、$n$ 次導関数は以下のようになると予想される。

$y^{(n)} = \sin (x + n \cdot \frac{\pi}{2})$

これを数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n = 1$ のとき、$y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ となり、成り立つ。

(2) $n = k$ のとき、$y^{(k)} = \sin (x + k \cdot \frac{\pi}{2})$ が成り立つと仮定する。

$n = k+1$ のとき、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} \sin (x + k \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos (x + k \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin (x + k \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \sin (x + (k+1) \cdot \frac{\pi}{2})$

よって、$n = k+1$ のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数は

$y^{(n)} = \sin (x + n \cdot \frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$\sin(x + \frac{n\pi}{2})$