与えられた数列の極限を求める問題です。数列は $\frac{(2n+1)^3}{3n^3 + 2n}$ であり、$n$ が無限大に近づくときの極限値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。数列は $\frac{(2n+1)^3}{3n^3 + 2n}$ であり、$n$ が無限大に近づくときの極限値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$(2n+1)^3 = (2n)^3 + 3(2n)^2(1) + 3(2n)(1)^2 + 1^3 = 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1$

したがって、数列は次のようになります。

$\frac{8n^3 + 12n^2 + 6n + 1}{3n^3 + 2n}$

次に、分子と分母を $n^3$ で割ります。

$\frac{\frac{8n^3}{n^3} + \frac{12n^2}{n^3} + \frac{6n}{n^3} + \frac{1}{n^3}}{\frac{3n^3}{n^3} + \frac{2n}{n^3}} = \frac{8 + \frac{12}{n} + \frac{6}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{3 + \frac{2}{n^2}}$

$n$ が無限大に近づくとき、$\frac{12}{n}$、$\frac{6}{n^2}$、$\frac{1}{n^3}$、$\frac{2}{n^2}$ は 0 に近づきます。

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{8 + \frac{12}{n} + \frac{6}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{3 + \frac{2}{n^2}} = \frac{8 + 0 + 0 + 0}{3 + 0} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$