関数 $f(x) = (x+1)e^{-x}$ の増減と凹凸を調べて、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x+1)e^{-x}$ の増減と凹凸を調べて、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 微分を計算する。

まず、$f(x) = (x+1)e^{-x}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。積の微分法を使うと、

$f'(x) = (x+1)'e^{-x} + (x+1)(e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + (x+1)(-e^{-x}) = e^{-x} - (x+1)e^{-x} = e^{-x}(1-(x+1)) = e^{-x}(-x) = -xe^{-x}$

次に、$f''(x)$ を求める。これも積の微分法を使うと、

$f''(x) = (-x)'e^{-x} + (-x)(e^{-x})' = -1 \cdot e^{-x} + (-x)(-e^{-x}) = -e^{-x} + xe^{-x} = e^{-x}(x-1)$

(2) 増減を調べる。

$f'(x) = -xe^{-x}$ の符号を調べる。$e^{-x} > 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $-x$ の符号と逆になる。

* $x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$ より $f(x)$ は増加する。

* $x = 0$ のとき、$f'(x) = 0$

* $x > 0$ のとき、$f'(x) < 0$ より $f(x)$ は減少する。

$x = 0$ で極大値をとり、$f(0) = (0+1)e^{-0} = 1$ である。

(3) 凹凸を調べる。

$f''(x) = e^{-x}(x-1)$ の符号を調べる。$e^{-x} > 0$ であるから、$f''(x)$ の符号は $x-1$ の符号と同じになる。

* $x < 1$ のとき、$f''(x) < 0$ より $f(x)$ は上に凸である。

* $x = 1$ のとき、$f''(x) = 0$

* $x > 1$ のとき、$f''(x) > 0$ より $f(x)$ は下に凸である。

$x = 1$ で変曲点を持ち、$f(1) = (1+1)e^{-1} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$ である。

(4) グラフの概形を考える。

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to -\infty$ である。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$ である。

グラフは、$x < 0$ で増加、$x > 0$ で減少、$x < 1$ で上に凸、$x > 1$ で下に凸となる。また、$x=0$ で極大値1をとり、$x=1$ で変曲点 $(1, 2/e)$ を持つ。

3. 最終的な答え

グラフの概形: グラフは $x=0$ で極大値1をとり、$x=1$ で変曲点 $(1, 2/e)$ を持ち、$x \to \infty$ で $0$ に漸近し、$x \to -\infty$ で $-\infty$ に発散する。