関数 $f(x)$ は $f(0) = 0$ かつ $x = 0$ で無限回微分可能である。 $m = \min\{j \ge 1 | f^{(j)}(0) \neq 0\}$ と定義する。 関数 $f(x) = \sin x - x + \frac{1}{6}x^3$ について、$m$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は $f(0) = 0$ かつ $x = 0$ で無限回微分可能である。

$m = \min\{j \ge 1 | f^{(j)}(0) \neq 0\}$ と定義する。

関数 $f(x) = \sin x - x + \frac{1}{6}x^3$ について、$m$ を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = \sin x - x + \frac{1}{6}x^3$ を微分して、$f'(x), f''(x), f'''(x), \dots$ を求め、順に $x=0$ を代入していく。

$f(0) = \sin 0 - 0 + \frac{1}{6} 0^3 = 0$

$f'(x) = \cos x - 1 + \frac{1}{2} x^2$

$f'(0) = \cos 0 - 1 + \frac{1}{2} 0^2 = 1 - 1 + 0 = 0$

$f''(x) = -\sin x + x$

$f''(0) = -\sin 0 + 0 = 0$

$f'''(x) = -\cos x + 1$

$f'''(0) = -\cos 0 + 1 = -1 + 1 = 0$

$f^{(4)}(x) = \sin x$

$f^{(4)}(0) = \sin 0 = 0$

$f^{(5)}(x) = \cos x$

$f^{(5)}(0) = \cos 0 = 1 \neq 0$

よって、$f^{(5)}(0)$ が初めて 0 でない微分係数である。

したがって、$m = 5$ である。

3. 最終的な答え

$m = 5$