2つの放物線 $y = 2x^2 + 4x$ と $y = x^2 + ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 2x^2 + 4x$ と $y = x^2 + ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの放物線の式を平方完成し、頂点の座標を求めます。

最初の放物線 $y = 2x^2 + 4x$ について、

$y = 2(x^2 + 2x)$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1)$

$y = 2((x+1)^2 - 1)$

$y = 2(x+1)^2 - 2$

したがって、この放物線の頂点は $(-1, -2)$ です。

次に、2番目の放物線 $y = x^2 + ax + b$ について、

$y = (x^2 + ax) + b$

$y = (x^2 + ax + (a/2)^2 - (a/2)^2) + b$

$y = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + b$

したがって、この放物線の頂点は $(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b)$ です。

2つの放物線の頂点が一致するので、それぞれの頂点の座標が等しくなります。

$-\frac{a}{2} = -1$

$-\frac{a^2}{4} + b = -2$

一つ目の式から、$a = 2$ が得られます。

この値を2つ目の式に代入すると、

$-\frac{2^2}{4} + b = -2$

$-\frac{4}{4} + b = -2$

$-1 + b = -2$

$b = -1$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$