次の2つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$ (2) $(b+c)(c+a)(a+b)+abc$

1. 問題の内容

次の2つの式を因数分解する問題です。

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$

(2) $(b+c)(c+a)(a+b)+abc$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$ を因数分解します。

項の組み合わせを工夫します。

$(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-24$

$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24$

ここで、$A = x^2+5x$ とおくと、

$(A+4)(A+6)-24$

$=A^2+10A+24-24$

$=A^2+10A$

$=A(A+10)$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2+5x)(x^2+5x+10)$

$=x(x+5)(x^2+5x+10)$

(2)

次に、$(b+c)(c+a)(a+b)+abc$ を因数分解します。

$(b+c)(c+a)(a+b)+abc = (b+c)(ca + cb + a^2 + ab) + abc$

$= bca + bcb + ba^2 + bab + cca + ccb + ca^2 + cab + abc$

$= b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + a^2b + ab^2 + 3abc$

$= (b+c)(c+a)(a+b)+abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

(1) $x(x+5)(x^2+5x+10)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a)$