直線 $y = \frac{1}{2}x - 2$ (1) と直線 $y = ax + 5$ (2) が点Aで交わっている。点Aのy座標が1であるとき、以下の問いに答える。 (1) 点Aのx座標を求めよ。 (2) aの値を求めよ。 (3) 三角形ABCの面積を求めよ。 (4) 三角形ADEの面積を求めよ。 ただし、B, Cはそれぞれ直線(1), (2)とy軸との交点であり、D, Eはそれぞれ直線(1), (2)とx軸との交点である。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{2}x - 2$ (1) と直線 $y = ax + 5$ (2) が点Aで交わっている。点Aのy座標が1であるとき、以下の問いに答える。

(1) 点Aのx座標を求めよ。

(2) aの値を求めよ。

(3) 三角形ABCの面積を求めよ。

(4) 三角形ADEの面積を求めよ。

ただし、B, Cはそれぞれ直線(1), (2)とy軸との交点であり、D, Eはそれぞれ直線(1), (2)とx軸との交点である。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは直線(1)上にあるので、点Aのy座標が1のとき、x座標を求める。

$1 = \frac{1}{2}x - 2$

$\frac{1}{2}x = 3$

$x = 6$

よって、点Aのx座標は6である。

(2) 点Aは直線(2)上にもあるので、$y=ax+5$ に点A(6,1)を代入する。

$1 = 6a + 5$

$6a = -4$

$a = -\frac{2}{3}$

(3) 点Bは直線(1)とy軸の交点なので、y切片は-2。よって、B(0, -2)。

点Cは直線(2)とy軸の交点なので、y切片は5。よって、C(0, 5)。

三角形ABCの面積は、底辺をBCと考えると、BCの長さは $5 - (-2) = 7$。

高さは点Aのx座標なので6。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 7 \times 6 = 21$。

(4) 点Dは直線(1)とx軸の交点なので、$y = \frac{1}{2}x - 2 = 0$ とすると、$\frac{1}{2}x = 2$、よって $x=4$。 D(4, 0)。

点Eは直線(2)とx軸の交点なので、$y = -\frac{2}{3}x + 5 = 0$ とすると、$\frac{2}{3}x = 5$、よって $x = \frac{15}{2}$。 E($\frac{15}{2}$, 0)。

三角形ADEの面積は、底辺をDEと考えると、DEの長さは $\frac{15}{2} - 4 = \frac{15}{2} - \frac{8}{2} = \frac{7}{2}$。

高さは点Aのy座標なので1。

三角形ADEの面積は、$\frac{1}{2} \times \frac{7}{2} \times 1 = \frac{7}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) 点Aのx座標: 6

(2) aの値: $-\frac{2}{3}$

(3) 三角形ABCの面積: 21

(4) 三角形ADEの面積: $\frac{7}{4}$