(17)と(18)の2つの複素数の計算問題です。 (17) $ \frac{\frac{1}{i}}{\frac{1}{i} + \frac{1}{1+i}}$ (18) $ \frac{1 + \frac{1}{i}}{1 - \frac{1}{1+i}}$

1. 問題の内容

(17)と(18)の2つの複素数の計算問題です。

(17) $\frac{\frac{1}{i}}{\frac{1}{i} + \frac{1}{1+i}}$

(18) $\frac{1 + \frac{1}{i}}{1 - \frac{1}{1+i}}$

2. 解き方の手順

(17) まず分母を計算します。

$\frac{1}{i} + \frac{1}{1+i} = \frac{1+i+i}{i(1+i)} = \frac{1+2i}{i+i^2} = \frac{1+2i}{i-1}$

次に分子を分母で割ります。

$\frac{\frac{1}{i}}{\frac{1+2i}{i-1}} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i-1}{1+2i} = \frac{i-1}{i(1+2i)} = \frac{i-1}{i+2i^2} = \frac{i-1}{i-2}$

最後に分母を有理化します。

$\frac{i-1}{i-2} = \frac{(i-1)(-i-2)}{(i-2)(-i-2)} = \frac{-i^2 -2i+i+2}{-i^2 -2i+2i+4} = \frac{1-i+2}{1+4} = \frac{3-i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$

(18) まず分子を計算します。

$1 + \frac{1}{i} = \frac{i+1}{i}$

次に分母を計算します。

$1 - \frac{1}{1+i} = \frac{1+i-1}{1+i} = \frac{i}{1+i}$

次に分子を分母で割ります。

$\frac{\frac{i+1}{i}}{\frac{i}{1+i}} = \frac{i+1}{i} \cdot \frac{1+i}{i} = \frac{(1+i)^2}{i^2} = \frac{1+2i+i^2}{-1} = \frac{1+2i-1}{-1} = \frac{2i}{-1} = -2i$

3. 最終的な答え

(17) $\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$

(18) $-2i$