与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 行列Aが正則であるかどうかを判定し、正則であれば逆行列を求めます。 (2) $AX = B$ を満たす行列Xを求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 行列Aが正則であるかどうかを判定し、正則であれば逆行列を求めます。

(2) $AX = B$ を満たす行列Xを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列Aが正則であるかどうかを判定し、正則であれば逆行列を求めます。

行列Aが正則であるための条件は、行列式が0でないことです。

行列式は $det(A) = 4 \times 2 - 6 \times 1 = 8 - 6 = 2$ であり、0ではないため、Aは正則です。

逆行列は、

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

となります。

(2) $AX = B$ を満たす行列Xを求めます。

$AX = B$ の両辺に左から$A^{-1}$をかけると、

$A^{-1}AX = A^{-1}B$

$IX = A^{-1}B$

$X = A^{-1}B$

となるので、

$X = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times2 + (-3)\times3 & 1\times1 + (-3)\times5 \\ -\frac{1}{2}\times2 + 2\times3 & -\frac{1}{2}\times1 + 2\times5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 9 & 1 - 15 \\ -1 + 6 & -\frac{1}{2} + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -14 \\ 5 & \frac{19}{2} \end{pmatrix}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) Aは正則であり、逆行列は $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$ です。

(2) $X = \begin{pmatrix} -7 & -14 \\ 5 & \frac{19}{2} \end{pmatrix}$ です。