関数 $f(x) = (2-x)|x+1|$ が与えられています。区間 $t \le x \le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $g(t)$ とします。 (1) $y=f(x)$ のグラフの概形を描きます。 (2) 最大値 $g(t)$ を与える $x$ の値が2つあるときの $t$ の値を求めます。 (3) $g(t) = f(t)$ を満たす $t$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2-x)|x+1|$ が与えられています。区間 $t \le x \le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $g(t)$ とします。

(1) $y=f(x)$ のグラフの概形を描きます。

(2) 最大値 $g(t)$ を与える $x$ の値が2つあるときの $t$ の値を求めます。

(3) $g(t) = f(t)$ を満たす $t$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y=f(x)$ のグラフの概形を描きます。

まず、$|x+1|$ の絶対値を外します。

$x \ge -1$ のとき、$f(x) = (2-x)(x+1) = -x^2 + x + 2 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

$x < -1$ のとき、$f(x) = (2-x)(-x-1) = x^2 - x - 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

$x \ge -1$ のとき、上に凸な放物線で、頂点は $(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ です。

$x < -1$ のとき、下に凸な放物線で、頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$ です。

$x = -1$ で $f(x) = 0$ となります。また、$f(2) = 0$ でもあります。

(2) 最大値 $g(t)$ を与える $x$ の値が2つあるときの $t$ の値を求めます。

$f(x)$ のグラフの概形から、$x \ge -1$ の部分で上に凸な放物線であり、頂点は $(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ です。区間 $t \le x \le t+1$ での最大値 $g(t)$ を考えます。最大値を与える $x$ の値が2つあるのは、区間 $t \le x \le t+1$ が $x=\frac{1}{2}$ を含むときです。

区間の両端で同じ値を取る場合が考えられます。

$t \le \frac{1}{2} \le t+1$ より、$-1/2 \le t \le 1/2$

軸が区間の中央にくる場合を考える．

$t + (t+1) = 2t + 1$, $(2t+1)/2 = 1/2$ となる場合がある．

$f(t) = f(t+1)$ となる場合、$t < -1$ の場合、

$(2-t)(-t-1) = (2-(t+1))(t+1+1) = (1-t)(t+2)$

$-2t - 2 + t^2 + t = t + 2 - t^2 - 2t$

$2t^2 = 4$, $t^2 = 2$

$t = -\sqrt{2}$ ($t < -1$ の条件を満たす。)

このとき、$g(t) = f(t) = f(t+1)$ であり、$x=t, t+1$ で最大値を取ります。

したがって、$t = -\sqrt{2}$

(3) $g(t) = f(t)$ を満たす $t$ の範囲を求めます。

$t$ が $x=-1$ 以上であれば、$t \le x \le t+1$ の区間の左端で最大値をとることは、$f(x)$ のグラフの概形からあり得ます。

$g(t) = f(t)$ となるのは、$t+1 \le -1$ つまり、$t \le -2$ のときです．

また、$t+1 \ge 2$ つまり $t \ge 1$ のとき、$g(t) = f(t)$ です。

$t \le -\sqrt{2}$ でも$g(t)=f(t)$なので、$t = -\sqrt{2}$も範囲に入る。

また、$x \ge -1$ で考える．軸$1/2$を含まない範囲を考えると、$t+1 < 1/2$つまり$t< -1/2$のとき，$t \le x \le t+1$で減少するので，$g(t) = f(t)$となり得る．

$t > 1/2$であれば、$t \le x \le t+1$ で増加するので，$g(t) = f(t+1)$となり、$g(t) \neq f(t)$

3. 最終的な答え

(1) グラフの概形は、x < -1 で下に凸、x >= -1 で上に凸の放物線です。

(2) $t = -\sqrt{2}$

(3) $t \le -\sqrt{2}$ , $t \ge 1$