次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x + \sin x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x + \sin x}$

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$であることを利用して、式を書き換えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x + \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x + \sin x}$

次に、分子と分母を$\sin x$で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x + \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{x}{\sin x} + 1}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$より、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$です。

また、$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$です。

これらの極限を代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{x}{\sin x} + 1} = \frac{\frac{1}{1}}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$