(1) 曲線 $y = -x^3 + 3x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。 (2) 放物線 $y = 1 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。 (3) 2つの放物線 $y = x^2 - 5x$ と $y = -x^2 - 2$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = -x^3 + 3x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

(2) 放物線 $y = 1 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

(3) 2つの放物線 $y = x^2 - 5x$ と $y = -x^2 - 2$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = -x^3 + 3x^2$ と $x$ 軸の交点を求める。

$y = -x^3 + 3x^2 = -x^2(x - 3) = 0$ より、$x = 0, 3$ 。

したがって、求める面積 $S$ は

$S = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + x^3 \right]_0^3 = -\frac{81}{4} + 27 = \frac{-81 + 108}{4} = \frac{27}{4}$

(2) 放物線 $y = 1 - x^2$ と $x$ 軸の交点を求める。

$1 - x^2 = 0$ より、$x = \pm 1$ 。

したがって、求める面積 $S$ は

$S = \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = 1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

(3) 2つの放物線 $y = x^2 - 5x$ と $y = -x^2 - 2$ の交点を求める。

$x^2 - 5x = -x^2 - 2$ より、$2x^2 - 5x + 2 = 0$ 。

$(2x - 1)(x - 2) = 0$ より、$x = \frac{1}{2}, 2$ 。

したがって、求める面積 $S$ は

$S = \int_{\frac{1}{2}}^2 \left( (-x^2 - 2) - (x^2 - 5x) \right) dx = \int_{\frac{1}{2}}^2 (-2x^2 + 5x - 2) dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x \right]_{\frac{1}{2}}^2 = \left( -\frac{16}{3} + 10 - 4 \right) - \left( -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} - 1 \right) = \left( -\frac{16}{3} + 6 \right) - \left( -\frac{1}{12} + \frac{5}{8} - 1 \right) = \frac{-16 + 18}{3} - \frac{-2 + 15 - 24}{24} = \frac{2}{3} - \frac{-11}{24} = \frac{2}{3} + \frac{11}{24} = \frac{16 + 11}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{27}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

(3) $\frac{9}{8}$