問題は全部で6題あります。それぞれ、複素数の計算、2次不等式の表す領域、関数のグラフ、指数関数・対数関数の計算、三角関数の値、関数の極限を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像に記載された数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は全部で6題あります。それぞれ、複素数の計算、2次不等式の表す領域、関数のグラフ、指数関数・対数関数の計算、三角関数の値、関数の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題1 (複素数)**

(1) $(\sqrt{3}-3i)^2$ の計算:

$(\sqrt{3}-3i)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3i + (3i)^2 = 3 - 6\sqrt{3}i - 9 = -6 - 6\sqrt{3}i$

(2) $\frac{4+3i}{2-i}$ の計算:

分母の複素共役 $2+i$ を分母分子にかけます。

$\frac{4+3i}{2-i} = \frac{(4+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{8 + 4i + 6i + 3i^2}{4 - i^2} = \frac{8 + 10i - 3}{4 + 1} = \frac{5+10i}{5} = 1 + 2i$

**問題2 (2次不等式)**

(1) $x + 2y - 2 < 0$ つまり $2y < -x + 2$ 、 $y < -\frac{1}{2}x + 1$

(2) $x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 > 0$

平方完成をします。 $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + 4 - 4 - 9 > 0$

$(x-2)^2 + (y+3)^2 > 9 = 3^2$

これは中心が $(2, -3)$ で、半径が3の円の外部を表します。

求める領域は、$y < -\frac{1}{2}x + 1$ の領域と、$(x-2)^2 + (y+3)^2 > 9$ の領域の共通部分です。グラフの図示は省略します。

**問題3 (分数関数・無理関数)**

(1) $f(x) = \sqrt{-3x-2}$

定義域は $-3x-2 \geq 0$ より $x \leq -\frac{2}{3}$

(2) $f(x) = \frac{2x+1}{2x+3}$

$f(x) = \frac{2x+3-2}{2x+3} = 1-\frac{2}{2x+3}= 1-\frac{1}{x+\frac{3}{2}}$

漸近線は $x=-\frac{3}{2}$ と $y=1$

グラフの図示は省略します。

**問題4 (指数関数・対数関数)**

(1) $4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = 2^3 = 8$

(2) $\log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4$

(3) $\log_{\frac{1}{8}} 8 = \log_{\frac{1}{8}} (\frac{1}{8})^{-1} = -1$

(4) $\log_4 \frac{1}{4} + \log_8 2 + \log_2 \sqrt{2} = -1 + \log_{2^3} 2 + \log_2 2^{\frac{1}{2}} = -1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -1 + \frac{2+3}{6} = -1 + \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}$

**問題5 (三角関数)**

(1) $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

(3) $\sin \frac{4\pi}{3} = \sin (\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) $\tan \frac{5\pi}{4} = \tan (\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

(5) $\sin (-\frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

**問題6 (関数の極限)**

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-3} = \frac{2+2}{2-3} = \frac{4}{-1} = -4$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4x + 2}{8x^2 + 4x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^2}}{8 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{5 + 0 + 0}{8 + 0 + 0} = \frac{5}{8}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $-6 - 6\sqrt{3}i$

(2) $1 + 2i$

問題2:

領域を図示 (省略)

問題3:

グラフを描画 (省略)

問題4:

(1) 8

(2) 4

(3) -1

(4) -1/6

問題5:

(1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) 1

(5) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

問題6:

(1) -4

(2) $\frac{5}{8}$