与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の行列を求めます。 (1) $A^{-1}$ (2) $AX = B$ を満たす行列 $X$ (3) $B^{-1}$ (4) $YB = A$ を満たす行列 $Y$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の行列を求めます。

(1) $A^{-1}$

(2) $AX = B$ を満たす行列 $X$

(3) $B^{-1}$

(4) $YB = A$ を満たす行列 $Y$

2. 解き方の手順

(1) $A^{-1}$ を求める。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ のとき、$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ です。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ なので、$ad - bc = (2)(5) - (3)(1) = 10 - 3 = 7$ です。

したがって、

$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/7 & -3/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{pmatrix}$

(2) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

$AX = B$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、$A^{-1}AX = A^{-1}B$ となり、$IX = A^{-1}B$ より、$X = A^{-1}B$ となります。

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 5/7 & -3/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ より、

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 5/7 & -3/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (5/7)(3) + (-3/7)(4) & (5/7)(1) + (-3/7)(2) \\ (-1/7)(3) + (2/7)(4) & (-1/7)(1) + (2/7)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (15 - 12)/7 & (5 - 6)/7 \\ (-3 + 8)/7 & (-1 + 4)/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/7 & -1/7 \\ 5/7 & 3/7 \end{pmatrix}$

(3) $B^{-1}$ を求める。

$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ なので、$ad - bc = (3)(2) - (1)(4) = 6 - 4 = 2$ です。

したがって、

$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix}$

(4) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求める。

$YB = A$ の両辺に右から $B^{-1}$ をかけると、$YBB^{-1} = AB^{-1}$ となり、$YI = AB^{-1}$ より、$Y = AB^{-1}$ となります。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ と $B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix}$ より、

$Y = AB^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) + (3)(-2) & (2)(-1/2) + (3)(3/2) \\ (1)(1) + (5)(-2) & (1)(-1/2) + (5)(3/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 6 & -1 + 9/2 \\ 1 - 10 & -1/2 + 15/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 7/2 \\ -9 & 14/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 7/2 \\ -9 & 7 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 5/7 & -3/7 \\ -1/7 & 2/7 \end{pmatrix}$

(2) $X = \begin{pmatrix} 3/7 & -1/7 \\ 5/7 & 3/7 \end{pmatrix}$

(3) $B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix}$

(4) $Y = \begin{pmatrix} -4 & 7/2 \\ -9 & 7 \end{pmatrix}$