確率密度関数 $f(x)$ が与えられ、$-8 \le x \le 8$ で $f(x) = \frac{1}{16}$、それ以外の $x$ で $f(x) = 0$ である。 この分布について、分布関数 $F(x)$ を求め、以下の値を計算する。 * $f(d-7)$ * $F(d-7)$ * $f(\mu/d)$ （$\mu$は $X$ の平均） * $F(\sigma^2 - d)$ （$\sigma^2$は分散） また、選択肢の中から適切なものを選び、キーワードを一つ記述する。

1. 問題の内容

確率密度関数 $f(x)$ が与えられ、$-8 \le x \le 8$ で $f(x) = \frac{1}{16}$、それ以外の $x$ で $f(x) = 0$ である。

この分布について、分布関数 $F(x)$ を求め、以下の値を計算する。

* $f(d-7)$

* $F(d-7)$

* $f(\mu/d)$ （$\mu$は $X$ の平均）

* $F(\sigma^2 - d)$ （$\sigma^2$は分散）

また、選択肢の中から適切なものを選び、キーワードを一つ記述する。

2. 解き方の手順

まず、分布関数 $F(x)$ を求める。

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ であり、

* $x < -8$ のとき、$F(x) = 0$

* $-8 \le x \le 8$ のとき、$F(x) = \int_{-8}^{x} \frac{1}{16} dt = \frac{1}{16}[t]_{-8}^{x} = \frac{x+8}{16}$

* $x > 8$ のとき、$F(x) = \int_{-8}^{8} \frac{1}{16} dt = 1$

よって、分布関数は

$F(x) = \begin{cases} 0 & (x < -8) \\ \frac{x+8}{16} & (-8 \le x \le 8) \\ 1 & (x > 8) \end{cases}$

次に、$X$ の平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を求める。

$\mu = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{-8}^{8} x \cdot \frac{1}{16} dx = \frac{1}{16}[\frac{x^2}{2}]_{-8}^{8} = 0$

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x) dx = \int_{-8}^{8} x^2 \cdot \frac{1}{16} dx = \frac{1}{16}[\frac{x^3}{3}]_{-8}^{8} = \frac{1}{16} \cdot \frac{2 \cdot 8^3}{3} = \frac{64}{3}$

問題文より $f(x) = \frac{1}{16}$（$-8 \le x \le 8$）および $f(x) = 0$（それ以外）である。

$f(x)$ の値は $x$ に依存しないため、問題文中の $d$ は任意の値をとって良い。

$d=7$ とすると、

$f(d-7) = f(0) = \frac{1}{16}$

$F(d-7) = F(0) = \frac{0+8}{16} = \frac{1}{2}$

$f(\mu/d) = f(0/7) = f(0) = \frac{1}{16}$

$F(\sigma^2 - d) = F(\frac{64}{3} - 7) = F(\frac{43}{3}) = 1$ (なぜなら、$\frac{43}{3} > 8$)

選択肢の検討：

1. $f(a) = \frac{1}{16}$：正しい

2. $F(b) = -\frac{1}{2}$：誤り（$F(x)$ は常に 0 以上 1 以下）

3. $f(x)$ のグラフは $x$ 軸対称：誤り（$y$ 軸対称）

4. $F(x)$ のグラフは連続していないところがある：誤り（$F(x)$は連続）

5. $f(c) = f(-c)$：正しい ($y$軸対象であるため)

6. $F(d) = F(-d)$：誤り

正しい選択肢は1と5であるから、⑦が正しい。

キーワードは一様分布。

3. 最終的な答え

1/16

1/2

1/16

1

⑦

一様分布