$0 \le x \le \pi$ の範囲で、不等式 $2\sin x - 2\cos x > \sqrt{6}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ の範囲で、不等式 $2\sin x - 2\cos x > \sqrt{6}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成を行います。$2\sin x - 2\cos x$ を $R\sin(x+\alpha)$ の形に変形します。

$R = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

また、$\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \alpha = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$となるので、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、$2\sin x - 2\cos x = 2\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})$ となります。

不等式は $2\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4}) > \sqrt{6}$ となり、

$\sin(x-\frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x \le \pi$ であるから、$-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$ となります。

$\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、$\frac{\pi}{3} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{2\pi}{3}$ となります。

各辺に $\frac{\pi}{4}$ を加えると、

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{4\pi + 3\pi}{12} < x < \frac{8\pi + 3\pi}{12}$

$\frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{12}\pi < x < \frac{11}{12}\pi$