$a$ は定数とします。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めます。

1. 問題の内容

$a$ は定数とします。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めます。

2. 解き方の手順

$2x - 1 = ae^{-x}$ を $a$ について解きます。

$a = (2x - 1)e^x$

$f(x) = (2x - 1)e^x$ とおきます。

$f'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x$

$f'(x) = 0$ を解くと、$2x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$

増減表は以下のようになります。

x | -∞ | ... | -1/2 | ... | ∞

---|---|---|---|---|---

f'(x) | | - | 0 | + |

f(x) | -∞ | ↓ | -2e^(-1/2) | ↑ | ∞

$x \to -\infty$ のとき、$2x-1 \to -\infty$ で、$e^x \to 0$ です。

$x < 0$ のとき、$2x-1 < 0$ で、$e^x > 0$ です。なので、$f(x) < 0$ です。

また、$lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x = 0$ です。

$x \to \infty$ のとき、$2x-1 \to \infty$ で、$e^x \to \infty$ です。

$f(x) \to \infty$ です。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$f(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2}) - 1)e^{-\frac{1}{2}} = (-1 - 1)e^{-\frac{1}{2}} = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

したがって、$y = f(x)$ のグラフは、$x = -\frac{1}{2}$ で極小値 $-\frac{2}{\sqrt{e}}$ をもち、

$x \to -\infty$ で $f(x) \to 0$、$x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ となります。

$y = a$ と $y = f(x)$ の交点の個数を調べます。

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、実数解は0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、実数解は1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき、実数解は2個

$a = 0$ のとき、実数解は1個

$a > 0$ のとき、実数解は1個

3. 最終的な答え

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき、2個

$a \geq 0$ のとき、1個