$a$ を定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ を変形して、

$a = (2x - 1)e^x$

とする。ここで、$f(x) = (2x - 1)e^x$ とおき、$y = f(x)$ のグラフを描くことを考える。$f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数が、与えられた方程式の実数解の個数に等しい。

$f(x) = (2x - 1)e^x$ を微分すると、

$f'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x$

$f'(x) = 0$ となるのは、$2x + 1 = 0$ より、$x = -\frac{1}{2}$ のときである。

増減表は以下のようになる。

$x$ | $\cdots$ | $-\frac{1}{2}$ | $\cdots$

------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$

------- | -------- | -------- | --------

$f(x)$ | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$f(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2}) - 1)e^{-\frac{1}{2}} = (-1 - 1)e^{-\frac{1}{2}} = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ が極小値である。

次に、$\lim_{x \to \infty} f(x)$ と $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ を求める。

$\lim_{x \to \infty} (2x - 1)e^x = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 1}{e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-e^{-x}} = 0$ （ロピタルの定理より）

よって、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数は、

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

$a > -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、2個

3. 最終的な答え

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、実数解の個数は0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、実数解の個数は1個

$a > -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、実数解の個数は2個