複素数の計算を行う問題です。 (1) $(\sqrt{3} - 3i)^2$ を計算し、 (2) $\frac{4+3i}{2-i}$ を計算します。 ただし、$i$ は虚数単位です。

## 数学の問題の解答

以下に、与えられた数学の問題の解答を示します。

### 問題1 (複素数)

1. **問題の内容**

複素数の計算を行う問題です。

(1) $(\sqrt{3} - 3i)^2$ を計算し、

(2) $\frac{4+3i}{2-i}$ を計算します。

ただし、$i$ は虚数単位です。

2. **解き方の手順**

(1) $(\sqrt{3} - 3i)^2$ の計算:

二項定理を用いて展開します。

$(\sqrt{3} - 3i)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(3i) + (3i)^2$

$= 3 - 6\sqrt{3}i + 9i^2$

$i^2 = -1$ であるから、

$= 3 - 6\sqrt{3}i - 9$

$= -6 - 6\sqrt{3}i$

(2) $\frac{4+3i}{2-i}$ の計算:

分母の共役複素数を分子と分母に掛けます。分母の共役複素数は $2+i$ です。

$\frac{4+3i}{2-i} = \frac{(4+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}$

$= \frac{8 + 4i + 6i + 3i^2}{4 - i^2}$

$i^2 = -1$ であるから、

$= \frac{8 + 10i - 3}{4 + 1}$

$= \frac{5 + 10i}{5}$

$= 1 + 2i$

3. **最終的な答え**

(1) $(\sqrt{3} - 3i)^2 = -6 - 6\sqrt{3}i$

(2) $\frac{4+3i}{2-i} = 1 + 2i$

### 問題4 (指数関数・対数関数)

1. **問題の内容**

指数関数と対数関数の計算を行う問題です。

(1) $4^{\frac{3}{2}}$

(2) $\log_3 81$

(3) $\log_8 1$

(4) $\log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_8 2 + \log_2 \sqrt{2}$

を計算します。

2. **解き方の手順**

(1) $4^{\frac{3}{2}}$ の計算:

$4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$

(2) $\log_3 81$ の計算:

$3^x = 81$ となる $x$ を求めます。 $81 = 3^4$ であるから、 $\log_3 81 = 4$

(3) $\log_8 1$ の計算:

$8^x = 1$ となる $x$ を求めます。 $8^0 = 1$ であるから、 $\log_8 1 = 0$

(4) $\log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_8 2 + \log_2 \sqrt{2}$ の計算:

$\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = -2\log_2 2 = -2$

$\log_8 2 = \log_{2^3} 2 = \frac{1}{3}\log_2 2 = \frac{1}{3}$

$\log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_2 2 = \frac{1}{2}$

したがって、$\log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_8 2 + \log_2 \sqrt{2} = -2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -2 + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = -2 + \frac{5}{6} = -\frac{7}{6}$

3. **最終的な答え**

(1) $4^{\frac{3}{2}} = 8$

(2) $\log_3 81 = 4$

(3) $\log_8 1 = 0$

(4) $\log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_8 2 + \log_2 \sqrt{2} = -\frac{7}{6}$

### 問題5 (三角関数)

1. **問題の内容**

三角関数の値を求める問題です。

(1) $\sin 120^\circ$

(2) $\cos 60^\circ$

(3) $\sin \frac{4\pi}{3}$

(4) $\tan \frac{5\pi}{4}$

(5) $\sin (-\frac{\pi}{4})$

を計算します。

2. **解き方の手順**

(1) $\sin 120^\circ$ の計算:

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos 60^\circ$ の計算:

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

(3) $\sin \frac{4\pi}{3}$ の計算:

$\sin \frac{4\pi}{3} = \sin (\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) $\tan \frac{5\pi}{4}$ の計算:

$\tan \frac{5\pi}{4} = \tan (\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

(5) $\sin (-\frac{\pi}{4})$ の計算:

$\sin (-\frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. **最終的な答え**

(1) $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

(3) $\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) $\tan \frac{5\pi}{4} = 1$

(5) $\sin (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

### 問題6 (関数の極限)

1. **問題の内容**

関数の極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2+4x+2}{8x^2+4x+3}$

を計算します。

2. **解き方の手順**

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}$ の計算:

まず、分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-3}$

$x \to 2$ を代入すると、

$\frac{2+2}{2-3} = \frac{4}{-1} = -4$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2+4x+2}{8x^2+4x+3}$ の計算:

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2+4x+2}{8x^2+4x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^2}}{8 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x} \to 0$ と $\frac{2}{x^2} \to 0$ と $\frac{3}{x^2} \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^2}}{8 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{5+0+0}{8+0+0} = \frac{5}{8}$

3. **最終的な答え**

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = -4$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2+4x+2}{8x^2+4x+3} = \frac{5}{8}$