問題は、指数関数・対数関数の計算、三角関数の値、および関数の極限を求める問題です。具体的には以下の通りです。 * 問題4：指数関数と対数関数の計算 * (1) $4^{\frac{3}{2}}$ * (2) $\log_3 81$ * (3) $\log_{\frac{1}{2}} 8$ * (4) $\log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_8 2 + \log_2 \sqrt[3]{2}$ * 問題5：三角関数の値を求める * (1) $\sin 120^{\circ}$ * (2) $\cos 60^{\circ}$ * (3) $\sin \frac{4\pi}{3}$ * (4) $\tan \frac{5\pi}{4}$ * (5) $\sin (-\frac{\pi}{4})$ * 問題6：関数の極限を求める * (1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$ * (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4x + 2}{8x^2 + 4x + 3}$

1. 問題の内容

問題は、指数関数・対数関数の計算、三角関数の値、および関数の極限を求める問題です。具体的には以下の通りです。

* 問題4：指数関数と対数関数の計算

* (1) $4^{\frac{3}{2}}$

* (2) $\log_3 81$

* (3) $\log_{\frac{1}{2}} 8$

* (4) $\log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_8 2 + \log_2 \sqrt[3]{2}$

* 問題5：三角関数の値を求める

* (1) $\sin 120^{\circ}$

* (2) $\cos 60^{\circ}$

* (3) $\sin \frac{4\pi}{3}$

* (4) $\tan \frac{5\pi}{4}$

* (5) $\sin (-\frac{\pi}{4})$

* 問題6：関数の極限を求める

* (1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$

* (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4x + 2}{8x^2 + 4x + 3}$

2. 解き方の手順

* 問題4

* (1) $4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = 2^3 = 8$

* (2) $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$

* (3) $\log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-3} = -3$

* (4) $\log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_8 2 + \log_2 \sqrt[3]{2} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-2} + \log_{2^3} 2 + \log_2 2^{\frac{1}{3}} = -2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = -2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$

* 問題5

* (1) $\sin 120^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* (2) $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$

* (3) $\sin \frac{4\pi}{3} = \sin (\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* (4) $\tan \frac{5\pi}{4} = \tan (\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

* (5) $\sin (-\frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

* 問題6

* (1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{2 + 2}{2 - 3} = \frac{4}{-1} = -4$

* (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4x + 2}{8x^2 + 4x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^2}}{8 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{5 + 0 + 0}{8 + 0 + 0} = \frac{5}{8}$

3. 最終的な答え

* 問題4

* (1) 8

* (2) 4

* (3) -3

* (4) -4/3

* 問題5

* (1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

* (2) $\frac{1}{2}$

* (3) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

* (4) 1

* (5) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

* 問題6

* (1) -4

* (2) 5/8