与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = x\sqrt{1+y^2}$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = x\sqrt{1+y^2}$ を解く。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は変数分離形であるため、変数分離を行い、積分を実行する。

ステップ1：変数分離を行う。

$\frac{dy}{\sqrt{1+y^2}} = x dx$

ステップ2：両辺を積分する。

$\int \frac{dy}{\sqrt{1+y^2}} = \int x dx$

ステップ3：左辺の積分を実行する。

$\int \frac{dy}{\sqrt{1+y^2}} = \sinh^{-1}(y) + C_1$

ステップ4：右辺の積分を実行する。

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$

ステップ5：積分定数をまとめる。

$\sinh^{-1}(y) = \frac{x^2}{2} + C$, ここで $C = C_2 - C_1$

ステップ6：yについて解く。

$y = \sinh(\frac{x^2}{2} + C)$

3. 最終的な答え

$y = \sinh(\frac{x^2}{2} + C)$