次の2つの1階線形微分方程式を解く問題です。 (1) $\frac{dy}{dx} + y = \cos x$ (2) $\frac{dy}{dx} + y \cos x = \sin 2x$

1. 問題の内容

次の2つの1階線形微分方程式を解く問題です。

(1) $\frac{dy}{dx} + y = \cos x$

(2) $\frac{dy}{dx} + y \cos x = \sin 2x$

2. 解き方の手順

(1) の解き方

これは1階線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x)$ は

$\mu(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$

両辺に $\mu(x) = e^x$ をかけます。

$e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^x \cos x$

$\frac{d}{dx}(e^x y) = e^x \cos x$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^x y) dx = \int e^x \cos x dx$

$e^x y = \int e^x \cos x dx$

$\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$ （部分積分を2回行うことで求められる）

よって

$e^x y = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$

$y = \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) + Ce^{-x}$

(2) の解き方

これも1階線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x)$ は

$\mu(x) = e^{\int \cos x dx} = e^{\sin x}$

両辺に $\mu(x) = e^{\sin x}$ をかけます。

$e^{\sin x} \frac{dy}{dx} + e^{\sin x} y \cos x = e^{\sin x} \sin 2x$

$\frac{d}{dx}(e^{\sin x} y) = e^{\sin x} \sin 2x$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ なので

$\frac{d}{dx}(e^{\sin x} y) = 2 e^{\sin x} \sin x \cos x$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^{\sin x} y) dx = \int 2 e^{\sin x} \sin x \cos x dx$

$e^{\sin x} y = \int 2 e^{\sin x} \sin x \cos x dx$

$t = \sin x$ と置換すると $dt = \cos x dx$ なので

$\int 2 e^{\sin x} \sin x \cos x dx = \int 2 e^t t dt = 2 \int t e^t dt = 2 (t e^t - e^t) + C = 2 ( \sin x e^{\sin x} - e^{\sin x} ) + C = 2 e^{\sin x} ( \sin x - 1 ) + C$

よって

$e^{\sin x} y = 2 e^{\sin x} ( \sin x - 1 ) + C$

$y = 2 ( \sin x - 1 ) + C e^{- \sin x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) + Ce^{-x}$

(2) $y = 2 ( \sin x - 1 ) + C e^{- \sin x}$