次の微分方程式を解きます。$y$ は $x$ の関数です。 (1) $\frac{dy}{dx} = x^2$ (2) $y\frac{dy}{dx} = -x$ (3) $\frac{dy}{dx} = -2y$

解析学微分方程式積分変数分離
2025/7/24

1. 問題の内容

次の微分方程式を解きます。yyxx の関数です。
(1) dydx=x2\frac{dy}{dx} = x^2
(2) ydydx=xy\frac{dy}{dx} = -x
(3) dydx=2y\frac{dy}{dx} = -2y

2. 解き方の手順

(1)
dydx=x2\frac{dy}{dx} = x^2 を解きます。
両辺を xx で積分します。
dydxdx=x2dx\int \frac{dy}{dx} dx = \int x^2 dx
y=13x3+Cy = \frac{1}{3}x^3 + C
ここで、CC は積分定数です。
(2)
ydydx=xy\frac{dy}{dx} = -x を解きます。
両辺を xx で積分します。
ydydxdx=xdx\int y \frac{dy}{dx} dx = \int -x dx
ydy=xdx\int y dy = -\int x dx
12y2=12x2+C\frac{1}{2}y^2 = -\frac{1}{2}x^2 + C
y2=x2+2Cy^2 = -x^2 + 2C
y2+x2=2Cy^2 + x^2 = 2C
y=±2Cx2y = \pm \sqrt{2C - x^2}
ここで、CC は積分定数です。積分定数を改めて CC とおけば、
y=±Cx2y = \pm \sqrt{C - x^2}
(3)
dydx=2y\frac{dy}{dx} = -2y を解きます。
変数分離を行います。
dyy=2dx\frac{dy}{y} = -2 dx
両辺を積分します。
dyy=2dx\int \frac{dy}{y} = \int -2 dx
lny=2x+C\ln|y| = -2x + C
y=e2x+C=eCe2x|y| = e^{-2x + C} = e^C e^{-2x}
y=±eCe2xy = \pm e^C e^{-2x}
積分定数を改めて CC とおけば、
y=Ce2xy = C e^{-2x}
ここで、CC は積分定数です。

3. 最終的な答え

(1) y=13x3+Cy = \frac{1}{3}x^3 + C
(2) y=±Cx2y = \pm \sqrt{C - x^2}
(3) y=Ce2xy = Ce^{-2x}

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